O presente trabalho tem como objetivo “desenhar as funções”, ou seja, compreender o aspecto geométrico de alguns tipos de funções, observando o processo de construção gráfica e suas particularidades e complexidades. Direcionamos o conteúdo da presente dissertação aos alunos de Ensino Médio, com o objetivo de melhorar a análise do comportamento de um objeto algébrico, dado por uma expressão, sob o ponto de vista da Geometria. Embora a Álgebra nos facilite o cálculo, a Geometria nos ajuda a ‘enxergar’ o problema. Para tal propósito, utilizaremos instrumentos matemáticos que auxiliam as construções e transformações gráficas, em especial as simetrias e derivadas, e tendo como importante aliado à essa metodologia o software Geogebra, ajudando na visualização e manipulação dos gráficos das funções envolvidas neste trabalho, observando de maneira rápida como as variações ocorrem nos gráficos de algumas funções.

O reconhecimento da importância e dos benefícios consequentes da aprendizagem de simetrias remontam há mais de um século, sendo estas consideradas uma via para a análise de demais situações matemáticas, envolvendo a visualização como aliada na consolidação da compreensão, para além de favorecer o desenvolvimento do pensamento crítico, da autonomia, da sensibilidade e da criatividade. Porém o ensino e a aprendizagem da matemática, e em particular da geometria e de simetrias, continuam a constituir-se como um desafio, tendo em conta as dificuldades evidenciadas pelos alunos na aprendizagem de conceitos geométricos ou o evitamento dos professores em ensinar este tema. A contextualização emerge como estratégia educativa alternativa, particularmente, em relação às simetrias, nomeadamente através da utilização de recursos provenientes da arte, da cultura e do património. No entanto, apesar da diversidade de recursos que podem ser usados para o efeito, é ainda rara a sua utilização em contexto educativo, justificando o interesse de, com os professores e através da sua formação, potenciar essa abordagem. Neste contexto, foi planificada, implementada e avaliada uma Oficina de Formação Docente dedicada a desenvolver uma proposta de ensino de simetrias com base na utilização de recursos artísticos, culturais e patrimoniais. Esta Oficina foi desenvolvida através de uma dinâmica colaborativa e o envolvimento ativo dos participantes. Trata-se de uma investigação-ação, envolvendo docentes e discentes do 1º ciclo do ensino básico. No sentido de caracterizar o potencial dos referidos recursos para o ensino e aprendizagem de simetrias, foram formulados três objetivos gerais: o primeiro visa caracterizar o conhecimento prévio, sobre simetrias, dos participantes da Oficina de Formação Docente, aos níveis científico, curricular e didático-pedagógico; o segundo incidiu em planificar, implementar e analisar uma proposta de ensino de simetrias no 1º Ciclo do Ensino Básico (CEB) utilizando recursos artísticos, culturais e patrimoniais e o terceiro visa avaliar a satisfação e a aprendizagem docente e discente. Foram vários os instrumentos de recolha de dados, nomeadamente inquéritos por questionário, entrevistas individuais e em focus grupo, observação direta participante e não participante e teste de conhecimentos. Os dados obtidos foram analisados primordialmente através de análise de conteúdo. Os resultados evidenciam que o ensino de simetrias pode ser vantajosamente realizado quando se faz uso de recursos artísticos, culturais e patrimoniais, proporcionando maior satisfação docente, e também promovendo a sua aprendizagem, nomeadamente aos níveis do conhecimento científico, didático-pedagógico e curricular. Os resultados evidenciam também que os estudantes junto de quem os professores participantes no estudo implementaram as atividades obtiveram níveis mais elevados de satisfação e aprendizagem do que os estudantes cujos processos de ensino e aprendizagem não usaram os referidos recursos, levando-nos a concluir o potencial e vantagem da sua utilização.

We give a new computational method to obtain symmetries of ordinary differential equations. The proposed approach appears as an extension of a recent algorithm to compute variational symmetries of optimal control problems [P.D.F. Gouveia, D.F.M. Torres, Automatic computation of conservation laws in the calculus of variations and optimal control, Comput. Methods Appl. Math. 5 (4) (2005) 387-409], and is based on the resolution of a first order linear PDE that arises as a necessary and sufficient condition of invariance for abnormal optimal control problems. A computer algebra procedure is developed, which permits one to obtain ODE symmetries by the proposed method. Examples are given, and results compared with those obtained by previous available methods.

We present analytic computational tools that permit us to identify, in an automatic way, conservation laws in optimal control. The central result we use is the famous Noether's theorem, a classical theory developed by Emmy Noether in 1918, in the context of the calculus of variations and mathematical physics, and which was extended recently to the more general context of optimal control. We show how a Computer Algebra System can be very helpful in finding the symmetries and corresponding conservation laws in optimal control theory, thus making useful in practice the theoretical results recently obtained in the literature. A Maple implementation is provided and several illustrative examples given.

We present analytic computational tools that permit us to identify, in an automatic way, conservation laws in optimal control. The central result we use is the famous Noether’s theorem, a classical theory developed by Emmy Noether in 1918, in the context of the calculus of variations and mathematical physics, and which was extended recently to the more general context of optimal control. We show how a Computer Algebra System can be very helpful in finding the symmetries and corresponding conservation laws in optimal control theory, thus making useful in practice the theoretical results recently obtained in the literature. A Maple implementation is provided and several illustrative examples given.

We give a new computational method to obtain symmetries of ordinary differential equations. The proposed approach appears as an extension of a recent algorithm to compute variational symmetries of optimal control problems [P.D.F. Gouveia, D.F.M. Torres, Automatic computation of conservation laws in the calculus of variations and optimal control, Comput. Methods Appl. Math. 5 (4) (2005) 387 409], and is based on the resolution of a first order linear PDE that arises as a necessary and sufficient condition of invariance for abnormal optimal control problems. A computer algebra procedure is developed, which permits one to obtain ODE symmetries by the proposed method. Examples are given, and results compared with those obtained by previous available methods.

The study of regular objects, such as polytopes, and their symmetries is a subject that attracts researchers from different areas of mathematics, such as geometers and algebraists, but also researchers from other areas of knowledge such as chemistry, thanks to the high symmetry of the molecules. An abstract polytope is a structure that combinatoricaly describes a classical polytope (a generalization of polygons and polyhedra to higher dimensions). Abstract regular polytopes can be described as a poset, as an incidence geometry or as C-group with linear diagram. A hypertope was introduced as a polytope-like structure where its group of symmetries is a C-group however it does not need to have a linear diagram. Grünbaum’s problem, one of the classical problems of the theory of abstract polytopes, not yet completely solved, consists in the classification of locally toroidal polytopes. The problem is extensible to hypertopes of rank 4 with toroidal rank 3 residues. Locally toroidal hypertopes are constructed from toroidal regular hypermaps {4, 4}, {6, 3}, {3, 6} or (3, 3, 3). The groups of these toroidal regular hypermaps can be represented as faithful transitive permutation representation graphs, which can be then used either to classify locally toroidal polytopes or to construct new polytopes/hypertopes with toroidal residues. In this thesis, a classification of all the possible degrees of faithful transitive permutation representations of the toroidal regular hypermaps and of the locally toroidal regular polytopes of type {4, 4, 4} is given...

In this paper we study a particular kind of symmetry of linear dynamical systems, the quaternionic symmetry. After giving some basic notions about quaternions and behavioral systems, we introduce and characterize linear systems with quaternionic symmetry. Finally we propose a state-space realization algorithm for input/output systems.

We extend the DuBois-Reymond necessary optimality condition and Noether's symmetry theorem to the time delay variational setting. Both Lagrangian and Hamiltonian versions of Noether's theorem are proved, covering problems of the calculus of variations and optimal control with delays.

We obtain a non-smooth extension of Noether's symmetry theorem for variational problems with delayed arguments. The result is proved to be valid in the class of Lipschitz functions, as long as the delayed Euler-Lagrange extremals are restricted to those that satisfy the DuBois-Reymond necessary optimality condition. The important case of delayed variational problems with higher order derivatives is considered as well. © 2013 Taylor & Francis.