In this paper we consider Trefftz methods which are based on functions defined by single layer or double layer potentials, integrals of the fundamental solution, or their normal derivative, on cracks. These functions are called cracklets, and satisfy the partial differential equation, as long as the crack support is not placed inside the domain. A boundary element method (BEM) interpretation is to consider these cracks as elements of the original boundary, in a direct BEM approach, or elements of an artificial boundary, in an indirect BEM approach. In this paper we consider the cracklets just as basis functions in Trefftz methods, as the method of fundamental solutions (MFS). We focus on the 2D Laplace equation, and establish some comparisons and connections between these methods with cracklets and standard approaches like the BEM, indirect BEM, and the MFS. Namely, we propose the enrichment of the MFS basis with the cracklets. Several numerical simulations are presented to test the performance of the methods, in particular comparing the results with the MFS and the BEM.

Two meshfree methods are developed for the numerical solution of the non-homogeneous Cauchy–Navier equations of elastodynamics in an isotropic material. The two approaches differ upon the choice of the basis functions used for the approximation of the unknown wave amplitude. In the first case, the solution is approximated in terms of a linear combination of fundamental solutions of the Navier differential operator with different source points and test frequencies. In the second method the solution is approximated by superposition of acoustic waves, i.e. fundamental solutions of the Helmholtz operator, with different source points and test frequencies. The applicability of the two methods is justified in terms of density results and a convergence result is proven. The accuracy of the methods is illustrated through 2D numerical examples. Applications to interior elastic wave scattering problems are also presented.

The direct application of the classical method of fundamental solutions (MFS) is restricted to homogeneous linear partial differential equations (PDEs). The use of fundamental solutions with different frequencies allowed the extension of the MFS to non-homogeneous PDEs, in particular, for Poisson or Helmholtz equations and for elastostatic or elastodynamic problems. This method has been called method of fundamental solutions for domains (MFS-D), but it faces an approximation problem when the non-homogeneous term presents discontinuities, because the fundamental solutions are analytic functions outside the source point set. In this paper we analyze two domain decomposition techniques for overcoming this approximation problem. The problem is set in the context of the modified Helmholtz equation, and we also establish the missing density results that justify both the MFS and the MFS-D approximations. Numerical results are presented comparing a direct and an iterative domain decomposition technique, with simulations in non-trivial domains.

Two meshfree methods are proposed for the numerical solution of boundary value problems (BVPs) for the Laplace equation, coupled with boundary conditions with jump discontinuities. In the first case, the BVP is solved in two steps, using a subtraction of singularity approach. Here, the singular subproblem is solved analytically while the classical method of fundamental solutions (MFS) is applied for the solution of the regular subproblem. In the second case, the total BVP is solved using a variant of the MFS where its approximation basis is enriched with a set of harmonic functions with singular traces on the boundary of the domain. The same singularity-capturing functions, motivated by the boundary element method (BEM), are used for the singular part of the solution in the first method and for augmenting the MFS basis in the second method. Comparative numerical results are presented for 2D problems with discontinuous Dirichlet boundary conditions. In particular, the inappropriate oscillatory behavior of the classical MFS solution, due to the Gibbs phenomenon, is shown to vanish.

In this paper, we address the meshfree numerical solution of time-harmonic linear elastic wave propagation problems in homogeneous media. In particular, we analyze the asymptotic behavior of the method of fundamental solutions (MFS) with source points located far away from the domain of interest. The asymptotic MFS is shown to be equivalent to a Trefftz method, here referred to as the plane waves method (PWM), based on superposition of shear and compressional elastic plane waves with different directions of propagation. Several numerical examples are included in order to illustrate the equivalence between the asymptotic MFS and the PWM. The convergence and stability of the PWM are also analyzed in smooth settings.

The method of fundamental solutions (MFS) has been widely used to numerically solve boundary value problems involving linear partial differential equations. This method is easy to implement computationally and can be very effective for smooth domains and boundary conditions. The main drawback of the MFS is the ill-conditioning of the associated matrices, which may deteriorate the method’s accuracy. We present three methods to reduce the ill-conditioning of the classical MFS for the Laplace equation defined in bounded star-shaped domains in 3D. The idea is to expand the MFS basis functions in terms of spherical harmonics, in order to use the reduced QR factorization and singular value decomposition to deal with the ill-conditioning, leading to a better function basis that spans the same approximation space as the classical MFS. The numerical results illustrate that these approaches significantly decrease the ill-conditioning, allowing higher accuracy when compared to the classical MFS.

The method of fundamental solutions (MFS) is a meshless method for solving boundary value problems with some partial differential equations. It allows to obtain highly accurate approximations for the solutions assuming that they are smooth enough, even with small matrices. As a counterpart, the (dense) matrices involved are often ill-conditioned which is related to the well known uncertainty principle stating that it is impossible to have high accuracy and good conditioning at the same time. In this work, we propose a technique to reduce the ill conditioning in the MFS, assuming that the source points are placed on a circumference of radius R. The idea is to apply a suitable change of basis that provides new basis functions that span the same space as the MFS’s, but are much better conditioned. In the particular case of circular domains, the algorithm allows to obtain errors close to machine precision, with condition numbers of order O(1), independently of the number of points sources and R.

We consider the numerical solution of an inverse problem of finding the shape and location of holes in an elastic body. The problem is solved by minimizing a functional depending on the eigenvalues and traces of corresponding eigenmodes. We use the adjoint method to calculate the shape derivative of this functional. The optimization is performed by BFGS, using a genetic algorithm as a preprocessor and the Method of Fundamental Solutions as a solver for the direct problem. We address several numerical simulations that illustrate the good performance of the method.

Some meshless methods have been applied to the numerical solution of boundary value problems involving the Helmholtz equation. In this work, we focus on the method of fundamental solutions and the plane waves method. It is well known that these methods can be highly accurate assuming smoothness of the domains and the boundary data. However, the matrices involved are often ill-conditioned and the effect of this ill-conditioning may drastically reduce the accuracy. In this work, we propose a numerical algorithm to reduce the ill-conditioning in both methods. The idea is to perform a suitable change of basis. This allows to obtain new basis functions that span exactly the same space as the original meshless method, but are much better conditioned. In the case of circular domains, this technique allows to obtain errors close to machine precision, with condition numbers of order O(1), independently of the number of basis functions in the expansion.

O método das soluções fundamentais, em inglês, method of fundamental solutions (MFS), é um método para solução de problemas de valor de fronteira de equações diferenciais com derivadas parciais. O método pertence à classe dos métodos que não necessitam de discretização do domínio, evitando, dessa forma, os desafios que podem surgir com a discretização de domínios complexos, como ocorre nos métodos que requerem essa etapa. O MFS busca a solução do problema de valor de fronteira na forma de uma combinação linear de soluções fundamentais da equação diferencial com derivadas parciais, com as singularidades da solução fundamental localizadas fora do domínio de definição do problema. Além de dispensar a discretização do domínio, outra vantagem que o torna um método atrativo para os pesquisadores é a facilidade de implementação numérica e sua excelente convergência à solução, que, em alguns casos, é de carácter exponencial [17, 31]. No entanto, a convergência do método é frequentemente comprometida devido ao mau condicionamento do sistema linear resultante da aplicação do método. Esse mau condicionamento decorre de vários fatores, sendo um deles a localização das singularidades, que, em princípio, podem ser colocadas em qualquer ponto do plano ou espaço, dependendo do domínio de definição do problema, excepto no seu interior e na fronteira do domínio. Como o mau condicionamento pode gerar instabilidade numérica e degradar a precisao da solução, é recomendável o seu tratamento antes da resolução do sistema linear. Para o efeito existem várias abordagens para mitigar esse problema, cada uma com suas vantagens e limitações, o que faz desse tema um campo de pesquisa ainda ativo. Esta tese trata do problema do mau condicionamento do método das soluções fundamentais aplicado a dois problemas concretos de valor de fronteira. Ela começa com uma apresentação das noções teóricas básicas sobre o MFS, sua formulação numérica, bem como uma descrição das diferentes estratégias actualmente utilizadas para reduzir o mau condicionamento. Como já mencionado, apesar da existência de diversas abordagens para mitigar o mau condicionamento, novas técnicas têm sido sugeridas como resultado de pesquisas recentes. Uma delas é uma técnica que combina o método das soluções fundamentais com a decomposição em valores singulares (SVD), conhecida como MFS-SVD, introduzida em [12], com o objectivo de melhorar o mau condicionamento do problema de valor de fronteira da equação de Laplace a duas dimensões. Considerando que, na formulação do MFS, as funções de base formam uma base que gera o espaço funcional das aproximações do problema, e podendo esse mesmo espaço ser descrito por outras bases, o MFS-SVD explora exactamente esta ideia, propondo uma mudança de base para obter um novo conjunto de funções de base, mas que resulte em um sistema linear melhor condicionado. A abordagem utilizada em [12] emprega coordenadas polares e polinómios harmónicos para definir a nova base, partindo de uma representação espectral da solução fundamental, e utiliza a decomposição em valores singulares para realizar a mudança de base. As ilustrações apresentadas em [12] mostram que o método é extremamente eficaz no caso da equação de Laplace a duas dimensões, apresentando números de condição de ordem O(1). No entanto, a afirmação de que o MFS-SVD funcionaria para a generalidade dos problemas de valor de fronteira carece de verificação caso a caso. Nesse sentido, nesta tese estendemos a aplicação do MFS-SVD para dois problemas de valor de fronteira no plano: O problema da equação de Helmholtz e o problema biharmónico. Para o problema da equação de Helmholtz, ilustramos neste trabalho que o MFS-SVD também é muito eficaz no tratamento do mau condicionamento quando o domínio considerado é o disco, utilizando, nesse caso, coordenadas polares e funções de Bessel como funções de base. Para qualquer outro domínio diferente do disco, mostramos que algumas melhorias são observadas, mas, quando aumentamos o número de funções de base, volta-se a observar um crescimento do número de condição para níveis semelhantes aos do caso clássico. Ou seja, a mudança de base, nestes casos, não garante a ortogonalidade das novas funções de base como ocorre no caso do disco, sugerindo a necessidade de se utilizar um sistema de coordenadas curvilíneo adaptado ao domínio em estudo para representar a expansão do teorema da adição. Para ilustrar/verificar essa hipótese, sugerimos nesta tese a resolução de problemas com domínio delimitado por uma elipse ou outros próximos à elipse, utilizando a expansão da solução fundamental em coordenadas elípticas, com funções de Mathieu como funções de base. Com essa abordagem, o condicionamento do sistema linear do MFS melhora consideravelmente para os casos com domínio elíptico e para domínios que apresentem um alongamento em uma determinada direcção, como por exemplo, domínios limitados do tipo amendoím. Essa abordagem com funções de Mathieu foi desafiadora, pois não existe implementação oficial dessas funções no software Matlab. Por isso, recorremos a ferramentas de terceiros [32, 33], que se mostraram ineficientes, pois garantem apenas precisão simples. Como, para as nossas ilustrações, necessitávamos maior precisão, dada a natureza dos problemas que estamos resolvendo, foi feita uma adaptação ao código de Cojocaru utilizando ideias provenientes de [21], de forma a garantir o cálculo das funções de Mathieu com maior precisão. A alteração mostrou-se extremamente eficaz sendo, portanto, um outro aspecto relevante desta pesquisa. O código alterado poderá servir de base para a utilização das funções de Mathieu em outros contextos e problemas, algo que, actualmente provavelmente não ocorre, pois os códigos existentes apresentam baixa precisão devido aos erros subtractivos frequentemente associados à elas. A equação biharmónica é abordada nesta tese por se tratar de uma equação diferencial de ordem superior, mais especificamente, de quarta ordem, e por ser um caso que apresenta diversas aproximações numéricas bem estabelecidas na literatura para a obtenção da solução via MFS. A busca pela solução numérica utilizando o MFS-SVD para este problema serve como ilustração da metodologia geral a ser seguida na resolução de problemas de valor de fronteira (BVPs) mais abrangentes. Esta abordagem com o problema biharmónico é relevante pois para os casos de equações de segunda ordem, como as de Laplace e Helmholtz, a aplicação do MFSSVD sugeria que a decomposição em valores singulares, SVD, deveria ser aplicada ao fator que contém o mau condicionamento, após a decomposição da matriz completa do sistema linear em fatores que dependem separadamente dos pontos de avaliação e dos pontos de observação. Ora, uma abordagem nesse sentido para um problema de quarta ordem, como o biharmónico, conduz a uma decomposição contendo matrizes singulares e, portanto, mal condicionadas, o que é ilustrado na tese. Portanto, ilustramos neste trabalho o procedimento a ser seguido para problemas de ordem superior, que reduz os casos Laplace e Helmholtz como casos particulares. Assim, este trabalho contribui para a formalização de um algoritmo aplicável à diferentes problemas de valor de fronteira, com as devidas adaptações. Como mencionamos anteriormente, o facto de existirem diferentes representações numéricas para a aproximação da solução numérica do problema biharmónico é outra razão que nos levou a seleccioná-lo como um caso de implementação do MFS-SVD, pois pretendíamos ilustrar também que a performance do MFSSVD é independente da representação usada para a obtenção da solução numérica. Portanto esta tese ilustra que o MFS-SVD introduzido originalmente para o melhoramento do mau condicionamento da matriz do sistema linear do MFS da equação de Laplace, pode ser extendido aos problemas de valor de fronteira no plano, para a equação de Helmholtz e para a equação biharmónica. A relevância do que se mostra na tese reside no facto de que a abordagem tal como sugerida em [12] não se aplicar para a globalidade dos casos, sendo necessário as alterações sugeridas neste trabalho para se conseguir as melhorias no mau condicionamento do sistema linear do MFS, particularmente para problemas de ordem superior. Ilustramos também, que por vezes a melhoria do mau condicionamento poderá ser conseguida apenas utilizando um sistema de coordenadas curvilíneo adaptado ao domínio, e que a localização dos pontos de observação não é determinante para o mau condicionamento se a base for adequada.