We consider Newton’s method for solving a generalized equation of the form f(x) + F(x) 3 0, where f : Ω → Y is continuously differentiable, X and Y are Banach spaces, Ω ⊆ X is open and F : X ⇒ Y has nonempty closed graph. Assuming strong regularity of the equation and that the starting point satisfies Kantorovich’s conditions, we show that the method is quadratically convergent to a solution, which is unique in a suitable neighborhood of the starting point. In addition, a local convergence analysis of this method is presented. Moreover, using convex optimization techniques introduced by S. M. Robinson (Numer. Math., Vol. 19, 1972, pp. 341-347), we prove a robust convergence theorem for inexact Newton’s method for solving nonlinear inclusion problems in Banach space, i.e., when F(x) = −C and C is a closed convex set. Our analysis, which is based on Kantorovich’s majorant technique, enables us to obtain convergence results under Lipschitz, Smale’s and Nesterov-Nemirovskii’s self-concordant conditions.

Apresentamos, nesta tese, uma an álise da convergência do m étodo de Newton inexato com tolerância de erro residual relativa e uma an alise semi-local de m etodos de Newton robustos exato e inexato, objetivando encontrar uma singularidade de um campo de vetores diferenci avel de nido em uma variedade Riemanniana completa, baseados no princ pio majorante a m invariante. Sob hip oteses locais e considerando uma fun ção majorante geral, a Q-convergância linear do m etodo de Newton inexato com uma tolerância de erro residual relativa xa e provada. Na ausência dos erros, a an alise apresentada reobtem o teorema local cl assico sobre o m etodo de Newton no contexto Riemanniano. Na an alise semi-local dos m etodos exato e inexato de Newton apresentada, a cl assica condi ção de Lipschitz tamb em e relaxada usando uma fun ção majorante geral, permitindo estabelecer existência e unicidade local da solu ção, uni cando previamente resultados pertencentes ao m etodo de Newton. A an alise enfatiza a robustez, a saber, e dada uma bola prescrita em torno do ponto inicial que satifaz as hip oteses de Kantorovich, garantindo a convergência do m etodo para qualquer ponto inicial nesta bola. Al em disso, limitantes que dependem da função majorante para a taxa de convergência Q-quadr atica do m étodo exato e para a taxa de convergência Q-linear para o m etodo inexato são obtidos.

In this work we present FELINE, a C++ solver of the Reynolds equation for treating hydrodynamic lubrication problems. To correctly describe cavitation regions, FELINE implements the inexact Newton iteration (INE) algorithm within a finite element method (FEM) framework. The solver was tested and validated against known cases in literature and industrially relevant cases of dimpled textures. Furthermore, we provide a benchmark for a complex dimpled texture case to evaluate the performance and robustness of the implementation. FELINE performs very fast when compared with existing implementations and shows a great degree of stability, while providing physically correct solutions thanks to the INE algorithm.