Games like 8-Ball offer many interesting challenges for both AI and optimization communities because of the continuous and stochastic characteristics of the domain. To succeed, a player must be able to plan the best sequence of shots and execute them with accuracy and precision, so that he does not lose the turn. The artificial players developed to date tend to take more than 30 seconds to select and execute a shot. Under a videogame setting, a player would give up playing the game if he had to wait that long for his turn. To solve this problem, we propose a real-time solution using a Monte-Carlo and Expectimax hybrid search algorithm with ray tracing techniques.

The work aims to describe the movement of a particle inside a pool table through a billiard application and to determine a formula for varying the motion of that particle. Another objective was to show the application of this knowledge in basic education.

A pr´atica do bilhar configura-se como um dom´ınio privilegiado de aplica¸c˜ao emp´ırica de conhecimentos matem´aticos, f´ısicos e geom´etricos. A dinˆamica do jogo permite a an´alise rigorosa de trajet´orias, ˆangulos, vetores de for¸ca e fen´omenos de rota¸c˜ao. A mesa, delimitada por tabelas retangulares, pode ser modelada como um plano geom´etrico no qual se formalizam princ´ıpios como a reflex˜ao especular, a conserva¸c˜ao do momento linear e determinadas transforma¸c˜oes sim´etricas. Assim, a execu¸c˜ao de uma tacada eficaz depende n˜ao apenas de destreza motora, mas tamb´em da compreens˜ao (ainda que intuitiva) de estruturas matem´aticas subjacentes. As situa¸c˜oes de snooker, caracterizadas pela ausˆencia de linha direta entre a bola branca e a bola-alvo devido `a interposi¸c˜ao de outras bolas, evidenciam a necessidade de racioc´ınio geom´etrico avan¸cado. Nesses casos, o jogador recorre a trajet´orias indiretas com uma ou m´ultiplas reflex˜oes nas tabelas. Embora sejam tradicionalmente utilizados modelos baseados em simetrias ou sistemas de marca¸c˜ao num´erica (como os sistemas de diamantes), tais m´etodos revelam limita¸c˜oes em contexto competitivo. Neste enquadramento, o presente trabalho prop˜oe uma abordagem ino vadora, articulando fundamentos te´oricos e aplica¸c˜ao pr´atica. Introduzem-se conceitos da teoria de grupos, em particular a¸c˜oes de grupo, bem como no¸c˜oes de espa¸cos e transforma¸c˜oes afins. Com base nesse referencial, desenvolve-se um modelo espec´ıfico para o bilhar, orientado para a transferˆencia efetiva do conhecimento ao contexto competitivo. O objetivo consiste em capacitar o atleta para identificar, em situa¸c˜oes de snooker, o ponto ´otimo de contacto na tabela, otimizando a decis˜ao e a execu¸c˜ao. Por fim, apresenta-se um c´odigo inform´atico, concebido a partir dos resultados obtidos, destinado ao apoio ao treino.

Games like 8-Ball offer many interesting challenges for both AI and optimization communities because of the continuous and stochastic characteristics of the domain. To succeed, a player must be able to plan the best sequence of shots and execute them with accuracy and precision, so that he does not lose the turn. The artificial players developed to date tend to take more than 30 seconds to select and execute a shot. Under a videogame setting, a player would give up playing the game if he had to wait that long for his turn. To solve this problem, we propose a real-time solution using a Monte-Carlo and Expectimax hybrid search algorithm with ray tracing techniques.

The classic billiard consists of a particle confined in a region by fixed boundary( f(r,θ)= f0) in which the particle moves in a straight line at constant sp eed and collides elastically with the boundary. We will use this mo del to study the effects of a charged particle under the influence of a magnetic field in the billiard. This typ e of study is useful in plasma physics, whichit heavily studiesthe movement ofa particle underthe influence of magnetic fields. Whena particle entersin a region with a constant magnetic field, it starts to describ e orbiting movement, defined as Larmor orbit. Asso ciated with the charged particle orbits we havea magnetic dipole moment that comes to opp osite to the changes in the magnetic fieldflux in the orbits of the particle. We will show that the magnetic dip ole moment is anadiabatic invariantof the system and see how it behaves in a region with nonuniform magnetic field. Following the line of DynamicSystems, wewill study the phase space generated by the billiard and see how it behaves under changes of the magnetic field.

Em Applications dAnalyse et de Géométrie, de 1862, Poncelet presenta um estudo sobre pares de cônicas que possuem um polígono inscrito em uma e ao mesmo tempo circunscrito à outra. Ele demonstra que, quando existe um polígono satisfazendo essa propriedade, na verdade há uma infinidade de polígonos com o mesmo número de lados que também a satisfazem. Neste trabalho estaremos nteressados em estudar as variedades dos pares de cônicas relacionadas por polígonos, mais particularmente triângulos. Daremos uma construção detalhada de uma certa fibração sobre um espaço de configurações detriângulos degenerados que utilizaremos para recuperar o bigrau da variedade de pares de cônicas relacionadas por triângulos empregando técnicas de teoria da interseção.

O jogo klotsen a que se refere Inácio Hartoghvelt é muito provavelmente uma versão antiga do bilhar. Há referências à prática deste jogo e à existência de espaços a ele dedicados em diversos colégios da Assistência Portuguesa da Companhia de Jesus.